数学的故事(《数学简史》作者蔡天新教授全新力作)

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数学的故事(《数学简史》作者蔡天新教授全新力作)
本书作者:蔡天新

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印度王与国际象棋
2003年冬天,我去南印度的班加罗尔参加为庆祝数论学家拉曼羌德拉(K. Ramachandra)70周岁生日召开的一次学术会议。拉曼羌德拉出生于印度西南部的卡纳塔克邦,那也是印度古代两位大数学家马哈维拉(Mahavira)和婆什迦罗(Bhaskara)的故乡,有“印度硅谷”之称的班加罗尔是该邦的首府。


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睿智而敏捷的大脑

他本是东欧一位富有的银行家的公子,放浪不羁,喜欢逛夜总会,却成了20世纪举足轻重的人物。“二战”以前他是一位杰出的数学家和物理学家,是美国普林斯顿高等研究院首批聘请的5位终身教授中最年轻的一位(29岁,最年长的爱因斯坦54岁)。“二战”期间盟军离不开他,无论陆军还是海军,美国还是英国,因为他是最好的爆炸理论专家,也是第一颗原子弹的设计师和助推者。

“二战”以后,他创立的博弈论极大地拓展了数理经济学的研究领域,至少影响了11位诺贝尔经济学奖(他去世12年后,这个奖项才开始颁发)得主的工作。他贡献最大的可能是在计算机理论和实践方面,他也因此被誉为“电子计算机之父”。简而言之,他是20世纪美国引进的最有用的人才之一。此人不是别人,正是在匈牙利出生的美国犹太人约翰·冯·诺依曼。

狱中成才的庞赛列

数学的故事(《数学简史》作者蔡天新教授全新力作)在数学史上,不乏逆境中成才的故事,也不乏谦让或提携后辈的故事,接下来我们要讲述其中的几则。在前文中,我们谈到法国的“一代枭雄”拿破仑·波拿巴与他的三位数学家师友的故事。其实,还有一位更年轻的数学家庞赛列(Jean-Victor Poncelet),他可能从未见过拿破仑(至少没有交往过),却与之共命运。不仅如此,他还因祸得福,成就了自己。

1788年,庞赛列出生在法国东北部的名城梅斯,是个私生子,从小被寄养在法德边境小城圣阿沃尔德的亲戚家中。由于中学时成绩优秀,庞赛列成为大学预科生。19岁那年,他考入巴黎综合工科学校,当时该校有许多著名教授,除了数学家出身的校长蒙日,还有物理学家安培(André-Marie Ampère)。大学三年级时因为生病,成绩下滑,他回到故乡,进了一所军事工程学院,毕业后来到荷兰西南部的一座要塞小岛上工作。

什么是完美数?

2000年,美国纽约的克雷数学研究所征解“千禧年七大数学难题”,并为每个问题的解决提供100万美元的奖金。其中,庞加莱猜想已在2003年被俄罗斯数学家佩雷尔曼(G. Perelman)攻克,他因此获得了数学最高奖——菲尔兹奖和千禧年奖金,但他自认为已经从数学研究中获得足够的乐趣,故而拒绝领奖。

也是在2000年,意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖获得者奥迪弗雷迪(P. Odifredi)出版了一本小册子《数学世纪》,阐述了20世纪的30个重大的数学问题。最后,他提出了尚未解决的四大难题,其中居于首位的就是“完美数问题”,另外三个是黎曼猜想、庞加莱猜想和P = NP问题。

完美数(perfect number),又称完全数或完备数,是指这样的正整数,即除它自身以外的因子之和恰好等于其本身。公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯或许是最早对此问题做出研究的人,他还求得6和28是完美数。事实上,6和28分别只有3个(1、2、3)和5个(1、2、4、7、14)真因子,且

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

毕达哥拉斯声称,“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身”。

埃及分数的故事

有一则现代故事,说的是一位富有的阿拉伯酋长,他临终时宣布把11辆豪华汽车赠送给他的3个女儿。他要求把1/2送给大女儿,1/4送给二女儿,1/6送给小女儿。问题出现了:如何在不毁坏汽车的情况下,将它们严格按酋长的遗嘱分给他的3个女儿?

最后,一位汽车经销商帮忙解决了这个难题。这位经销商无偿提供了一辆汽车,这样一来,就有12辆汽车了,3个女儿按遗嘱分别获赠6辆、3辆和2辆汽车。当她们把自己分得的汽车开走以后,还剩下1辆,自然物归原主回到了经销商手中。也就是说,他既做了人情,又没有任何损失。

这则故事实际上提出了这样一个数学问题,即如何把有理数表示成3个单位分数之和。所谓单位分数又叫埃及分数(Egyptian fraction),是指分子为1的正分数。这类分数是古埃及人最常用的分数,被视为“神灵的眼睛”,埃及人甚至用它们来做乘除计算。

有趣的投针实验

18世纪的一天,法国博物学家布丰(Comte de Buffon)邀请了许多朋友来到自己家中做客,席间一起做了一个实验。布丰先在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度刚好是相邻平行线间距的一半。布丰说:“请大家随意把这些小针往白纸上扔!”客人们纷纷照他说的做了。

他们共投掷了2 212枚小针。统计结果表明,与纸上平行线相交的有704枚,2 210÷704 ≈ 3.142。布丰说:“这个数是π的近似值。每次实验都会得到圆周率的近似值,而且投掷的次数越多,求出的圆周率近似值就越精确。”这就是著名的“布丰实验”。

布丰发现,如果所选择的小针的长度固定,那么有利扔出(即扔出的针与平行线相交的情况)与不利扔出(即扔出的针与平行线不相交的情况)的次数之比,就是一个包含π的表达式。特别地,如果小针的长度是平行线距离的一半,那么有利扔出的概率恰好为1/π。

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