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超越无穷大:一次跨越数学边界的冒险之旅

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超越无穷大:一次跨越数学边界的冒险之旅 电子书推荐分享 第1张

本书作者:尤金妮娅·程

本书读后感及个人笔记分享· · · · · ·

比较不同的集合

在上一章里,我们证明了实数是不可数的,证明方法是展示任何将实数和自然数一一对应起来的尝试,其都会导致至少落下一个实数的结果。我们可以用这种办法来比较任何两个事物的集合。对于非常小的集合,这个办法是有效的。

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超越无穷大:一次跨越数学边界的冒险之旅 电子书推荐分享 第2张

失败)说的是对于从左到右的满射函数来说,这是不可能的,但严格意义上讲,我们还要说明从左到右的内射函数是可能的。这个层面的问题非常微妙,涉及选择公理。在所有我们能想到的情况里,内射函数都是非常明显的一种情况。比如,从自然数到实数有一个非常显而易见的内射函数存在,因为我们可以把自然数直接和实数集合里的自然数部分对应起来。

从某种程度上讲,这有点儿像是小孩子在还不会数数的时候使用的最基本的比较他们有多少东西的办法。比如,如果要看看自己是不是有足够的饼干能分给朋友,他们可能要把饼干都分出去才能知道。但是会数数的人可能数一下就知道了。要检查我们在《舞动奇迹》里面是不是有同样多的明星和专业选手搭配,我们只要观察是不是每个人都搭配上了就可以了。如果是的话,那么两者的数量一定是相等的。我们并不需要数,因为我们并不需要知道一共有多少个组合。但是,即便我们真的去数的话,我们在真正意义上做的也不过是把每一个组里的人和数字的官方袋子做对应而已。假设一共有10个挑战者。当你数他们的时候,你真正做的就是把他们和下面的数集做对应:

{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10}

如果你把他们和这个数集里面的数字做了对应,然后发现你没有用到9和10,那么你就会知道,挑战者的人数不到10。如果你想要对应的时候发现你用了9和10两次,那么你就会知道,挑战者的人数超过了10。

对于这种小的数字,使用这种分析方法确实有点儿小题大做了。但这是理解数学的常见方法。你需要先在简单的例子中理解这个方法,如果你一上来就在非常复杂的情形下学习这个方法的话,那么学起来就太难了。

无论如何,这种对应方法是小孩子在学会数数之前就可能会用到的方法。

他们也许有一列乐高火车,而且他们想要在每一节车厢里放一个乐高小人儿。如果乐高小人儿没有了但是还有空的车厢,那么很明显,他们没有足够多的乐高小人儿,虽然他们并不知道他们有多少乐高小人儿,也不知道他们还需要多少乐高小人儿。这就是我们在处理无穷数集的时候,用来处理“更多”和“更少”的问题的办法。就像是不会数数的小孩子一样,当我们拥有无穷个事物的时候,我们并不确切知道我们到底有“多少”。

让我们假设我们有无穷多个乐高小人儿,要放到一列有无穷节车厢的乐高火车里。我们想要知道,乐高小人儿的数量是不是比火车车厢的数量“更加无穷”。现在,你可能会想,如果我们最后还有空的车厢的话,那么我们肯定没有足够多的乐高小人儿。我们在这里面临的第一个问题就是,我们不知道“最后”是什么意思。如果我们要把无穷个乐高小人儿放到无穷节的车厢里,我们可能要花费“无穷”的时间——无休无止。但我们可以忽略这个事实。因为我们只需要想到一个做这件事的办法,而并不需要真的做这件事。

这是一个我们能够把所有的小人儿放进车厢并且剩下一个空车厢的做法:

我们可以空下第一节车厢。也许乐高小人儿像我一样不愿意坐在第一节车厢里,以免在发生撞车事故时受伤。所以我们把第一个小人儿放在第二节车厢,下一个小人儿放在第三节车厢,以此类推。最后,在我们填充了所有的车厢之

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超越无穷大:一次跨越数学边界的冒险之旅 电子书推荐分享 第3张

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